====2.2.3 Dépendances fonctionnelles====

  * Au sein d'un schéma $R$, 
    * Il peut exister un ensemble de contraintes, noté $F$, 
      * portant sur les attributs (plus précisément sur les valeurs prises par les attributs). 
      * L'ensemble F est indépendant de R.
    * On parle de **contraintes d’intégrité**.
      * Ces contraintes s’expriment sous la forme de **dépendances fonctionnelles**.

<note>
**Rappels d’algèbre de base:**

  * **Relation binaire** : une relation binaire $r$ portant sur deux domaines $A$ et $B$:
    * est un sous-ensemble du produit cartésien $A \times B$.
    * si $(a,b) \in r$, on note parfois $a r b$ ce qui signifie “a est en relation avec b”.
  * **Fonction** : une fonction $f : A \rightarrow B$ est une relation binaire sur $A \times B$ telle que 
    * pour tout $a \in A$,
    * il existe un unique $b$ tel que $(a,b) \in f$.
    * On note $b=f(a)$ , 
      * ce qui signifie qu'au sein de la relation $f$, $b$ est déterminé de façon unique par le choix de $a$ (autrement dit : “b dépend de a”)
</note>

<note important>
**Dépendance fonctionnelle**

  * Soit $r$ une relation définie selon $R(A_1,...,A_m)$
  * Soient $X$ et $Y$ deux sous-ensembles de $R$  
  * On dit que la relation $r$ définit une //dépendance fonctionnelle// de $X$ vers $Y$,  
    * notée $X \stackrel{r}{\rightarrow} Y$
    * si les valeurs de $r$ permettent de définir une fonction de $d(X)$ vers $d(Y)$.
</note>

<note tip>
**__Exemple 1__** :

Soit la relation $r$:
^ A ^ B ^ C ^
| 1 | a | e |
| 2 | b | f |
| 2 | c | f |
| 3 | d | k |
| 4 | d | k |

  * On a les dépendances suivantes :
    * $A \rightarrow C$
    * $B \rightarrow C$
    * mais pas : $A \rightarrow B$, $B \rightarrow A$, ni $C \rightarrow A$
  * On a aussi :
    * $A,B \rightarrow C$
    * mais pas : $B,C \rightarrow A$, ni $A,C \rightarrow B$, etc.
</note>

<note tip>
**__Exemple 2__** :

  * Soit le schéma : 
    * **Commande** (num_client, quantité, prix, date, num_article)
  * et l’ensemble de contraintes 
$$ \begin{array}{rl}F &= \{\\ 
    & \text{num_client, date} \rightarrow \text{num_article, quantité, prix} \\
    & \text{num_article, quantité} \rightarrow \text{prix} \\
    &\}
    \end{array}
$$
  * La première contrainte indique qu'il ne peut y avoir deux factures émises pour un même client à une date donnée.
  * La seconde contrainte indique que le prix payé dépend de l’article et de la quantité commandée.
</note>

<note tip>
**__Exemple 3__** :
  * Soit le schéma : 
    * **Ouvrage** (titre, auteur, éditeur, prix, date_edition)
  * et la contrainte :
    * {titre, auteur, éditeur →  prix, date_édition}
La contrainte signifie : 
  * “//pour une oeuvre chez un certain éditeur, une seule édition est possible (pas de réédition à une date ultérieure)//”
  * “//politique du prix unique//”

</note>

<note>
**Exercice :**
Soit le schéma :

  *  **Réservation**(code_appareil, date, heure, salle)

Exprimer la dépendance fonctionnelle : 
  * « //Un appareil ne peut pas être utilisé dans deux locaux différents au même moment //»
</note>

  * Il importe donc de bien réfléchir, au moment de l'étape de conception, 
    * du réalisme et du caractère limitant de certaines dépendances fonctionnelles, 
    * et du caractère éventuellement limitant du choix des attributs.
  * Ainsi, le schéma décrivant les commandes (exemple 2) 
    * ne permet pas de commander des articles de nature différente au sein d'une même commande 
    * (un client, pour commander deux rateaux et une truelle, doit donc effectuer deux commandes, qui plus est à des dates différentes!).

__Previous__ :[[public:STD-3:CM1:Aspect logique:2.2.2 Relation]]
__Up__ : 2.2 [[public:STD-3:CM1:Aspect logique]]
__Next__ : [[public:STD-3:CM1:Aspect logique:2.2.4 Clé d'une relation]]