Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- public:ncom:2.4_traitement_recurrent [2017/04/06 22:07] – edauce
+++ public:ncom:2.4_traitement_recurrent [2017/04/06 22:31] (Version actuelle) – [2.4.3 Mécanisme d'appariement dans les systèmes dynamiques] edauce
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+===== 2.4 Traitement récurrent=====
+Par opposition à ce  traitement séquentiel, nous considérons
+une hypothèse alternative qui serait celle
+  * d'un branchement "non centralisé".
+Cela revient à regarder des mécanismes de traitement
+dans lesquels l'appariement :
+  * n'est pas réalisé au niveau des neurones,
+  * mais au niveau d'une population de neurones.
+Pour qu'une décision soit réalisée par une population,
+  * il faut que les neurones échangent de l'information pour aboutir à un "consensus".
+  * Dans le langage des systèmes dynamiques, on parle de mécanisme de **relaxation** (voir plus bas).
+L'idée est donc que le cerveau, en présence d'un signal, construit sa réponse via une relaxation vers le circuit ayant la meilleure "correspondance" avec ce signal.
+Le choix du mécanisme de relaxation, par opposition au produit scalaire,
+  * ne correspond pas uniquement à un niveau de description plus "fin".
+  * Il correspond en effet
+    * à une architecture neuronale différente,
+    * dite architecture **récurrente**.
+{{ :public:ncom:neurom-rec.png |}}
+Un réseau de neurones est dit récurrent :
+  * lorsque le graphe qui le décrit contient des cycles.
+  * Cela signifie concrètement que le signal produit par les neurones peut circuler à l'infini, "en boucle", à l'intérieur du réseau.
+  * On parle d'activité interne ou encore activité "endogène".
+<note tip>
+Le choix d'étudier des réseaux de neurones récurrents en traitement de l'information et apprentissage biologiquement inspirés se justifie par leur plus grande plausibilité biologique :
+  * {{http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0306452205006214|Compte2006}}
+  * {{http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1364661310000045|Fiser2010}}
+</note>
+<note important>
+//Les réseaux de neurones récurrents sont capables de maintenir une activité persistante en l'absence de stimulation extérieure.
+Le cadre à considérer pour traiter l'appariement est celui des systèmes dynamiques "ouverts" dans lesquels
+l'activité endogène d'un réseau de neurones récurrent est "perturbée" par un signal extérieur. //
+</note>
+==== 2.4.1 Systèmes dynamiques ====
+La théorie des **systèmes dynamiques** repose sur :
+  * un espace d'état $\mathcal{X}$,
+  * une trame temporelle $\mathcal{T}$
+  * et un flot $\phi$ qui est une application de $\mathcal{X} \times \mathcal{T}$ dans $\mathcal{X}$
+    * définissant pour tout couple $(\boldsymbol{x},t)$
+    * l'évolution d'état comme~:
+\begin{align}\label{eq:SD}
+\dot{\boldsymbol{x}} = \phi(\boldsymbol{x},t)
+\end{align}
+La **trajectoire** du système sur la plage temporelle $[t_0,t_f]$ est alors définie
+par l'intégration sur le flot de la condition initiale $\boldsymbol{x}_0$.
+  * Dans le cas d'un système dit "autonome", on a $$\phi(\boldsymbol{x},t) = \phi(\boldsymbol{x})$$
+    * et la trajectoire du système
+$$\{\boldsymbol{x}(t)\}_{t \in [t_0,t_f], \boldsymbol{x}(t_0)= \boldsymbol{x}_0}$$
+    * est entièrement définie par les conditions initiales.
+  * Dans le cas d'un système dit "ouvert" (non-autonome),
+    * la dépendance temporelle est souvent modélisée sous la forme d'un signal externe $\boldsymbol{I}(t)$, soit
+$$\phi(\boldsymbol{x},t) = \phi(\boldsymbol{x},\boldsymbol{I}(t))$$
+    * Ce signal peut être:
+      * une donnée d'entrée dans le cas de modèles de traitement des données
+      * un bruit externe dans le cas de modèles stochastiques
+<note important>
+//La plupart des réseaux de neurones peuvent se modéliser sous cette forme, à partir du moment où l'état du réseau à l'instant $t$ est entièrement spécifié, en tenant compte en particulier
+du potentiel de membrane et des différents temps de transport sur les axones. //
+</note>
+==== 2.4.2 Attracteurs ====
+Dans le cas des systèmes autonomes dissipatifs, on appelle **attracteur** une région de l'espace d'état qui tend à attirer les trajectoires du système pour les temps longs.
+<note important>
+  * Un attracteur est formellement défini comme une région de l'espace d'états invariante par le flot, c'est à dire un ensemble de points $\mathcal{A} \subset \mathcal{X}$ tel que  si $\boldsymbol{x}(t) \in \mathcal{A}$, alors $\boldsymbol{x}(t+\tau) \in \mathcal{A}$, avec $\tau > 0$.
+  * Un attracteur est dit stable s'il existe un voisinage de $\mathcal{A}$ tel que tout point de ce voisinage converge vers l'attracteur pour les temps longs.
+  * La trajectoire qui va de la condition initiale vers l'attracteur s'appelle la dynamique de **relaxation**.
+  *  L'ensemble des conditions initiales convergeant vers un attracteur donné s'appelle le **bassin d'attraction**.
+</note>
+==== 2.4.3 Mécanisme d'appariement dans les systèmes dynamiques ====
+Dans le cas des systèmes non-autonomes, la réponse du réseau correspond à un compromis :
+  * entre les contraintes internes, exprimées par le graphe,
+  * et les contraintes externes, exprimées par le signal.
+<note important>
+On pourra également parler de dynamique de **relaxation** pour caractériser
+  * la convergence vers un attracteur lorsque le signal extérieur est  stationnaire,
+  * ou encore lorsque les changements du signal extérieur sont suffisamment "lents" pour laisser la dynamique converger vers une région de faible volume.
+</note>
+La  généralisation  des opérateurs
+d'appariement au cas des dynamiques de relaxation  signifie essentiellement~:
+  - que la dynamique de relaxation doit permettre de séparer l'espace des signaux en régions distinctes.
+    - Les attracteurs atteints pour certaines classes de signaux doivent être **qualitativement différents** de ceux obtenus pour d'autres classes de signaux.
+  - qu'il existe des mécanismes de plasticité permettant
+    - de faire "bouger les frontières" entre les différentes régions,
+    - voire d'en créer de nouvelles et d'en faire disparaître.
+===Séparation des signaux===
+La transformation des données d'entrée sous la forme d'un (ou plusieurs) vecteur(s) caractéristique(s) correspond à une   **simplification** de ces données.
+  * Dans le cas des réseaux de neurones à couches, cette simplification correspond à une dimension de la couche de sortie plus faible que celle de la couche d'entrée.
+  * Dans le cas des réseaux récurrents, cette simplification se traduit
+    * par une **réduction du nombre de degrés de liberté** sur lesquels évolue la dynamique des neurones.
+    * L'activité du réseau accepte alors une description sur un espace de plus petite dimension.
+<note tip>
+L'équation de récurrence:
+\begin{align}
+	\dot{\boldsymbol{x}} = \phi(\boldsymbol{x}(t), I(t)) \label{eq:recurrence}
+\end{align}
+permet de modéliser l'interaction entre une activité endogène (décrite par $\boldsymbol{x}$) et un signal extérieur (décrit par $I$).
+</note>