Différences

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+===== Bases de données relationnelles =====
+On introduit dans ce chapitre le **modèle relationnel** qui sert de fondation à la conception de bases de données.
+Les différents modèles utiles en représentation des connaissances reposent sur des notions de base de la théorie des ensembles :
+    * Ensemble finis
+    * Éléments partiellement (ou totalement) discernables
+==== 1 Structures de données ====
+=== 1.1 Production des données ===
+Tout commence par une fiche à remplir…
+{{https://www.lesintegristes.net/wp-content/uploads/2010/03/remember-the-milk.png}}
+  * Un formulaire se présentant sous la forme d’un ensemble de rubriques à remplir.
+  * Le **modèle de fiche** définit le format des données à enregistrer:
+    * liste des rubriques du formulaire,
+    * domaine de valeurs attendues dans chaque rubrique.
+  * A toute fiche remplie correspond un **jeu de valeurs** (ou mesure) :
+    * liste de valeurs correspondant au contenu d’une fiche particulière.
+<note tip>
+Un jeu de valeurs sert à décrire :
+  * une personne réelle : assuré, client, étudiant, auteur, plaignant, contribuable,...
+  * une personne morale : fournisseur, prestataire, direction, section, promotion,...
+  * un objet physique : article, véhicule, composant, ingrédient, pièce,...
+  * un objet contractuel ou administratif : fiche de paye, contrat, procès verbal, billet, dossier...
+  * un lieu : salle, local, manufacture, entrepôt, ligne de production,...
+  * un événement : transaction, jugement, achat, vente, acte administratif, appel téléphonique,...
+  * etc...
+</note>
+=== 1.2  Stockage des données ===
+  * D’un point de vue informatique, un jeu de valeurs recueilli est appelé un //enregistrement//
+    * correspondant à l’encodage des données recueillies sur un support numérique
+  * Une **structure de données** définit les données de manière logique,
+    * c’est à dire l’ordre dans lequel elles doivent être lues
+    * et la manière dont elles doivent être interprétées par les programmes qui les utilisent.
+<note tip>
+Exemples de structures de données (cours d'algorithmie):
+  * listes,
+  * listes de listes,
+  * dictionnaires,
+  * arbres,...
+</note>
+  * Les types des valeurs étant déterminés (selon les cas de taille fixe ou variable),
+    * la **structure de données** correspond au “véhicule” qui servira à transporter et échanger les données (entre programmes, entre ordinateurs).
+    * Différentes structures de données sont possibles pour l’encodage et le stockage d’un jeu de valeurs, voir :
+      * Données non structurées
+      * Données vectorielles
+      * Tuples
+      * Données structurées
+      * Données Hiérarchisées
+=== Tuples===
+Le **Tuple** est la structure de données de base servant pour le recueil, le transport et le stockage des données.
+<note important>
+  * Un **Tuple** est une liste, **finie**, **ordonnée** et **de taille fixe** contenant une suite de valeurs.
+  * Chaque valeur peut obéir à un format différent
+  * On note //m// la taille du tuple (nombre de valeurs)
+$$ t = (a_1, ..., a_m) $$
+**Exemple :**
+  ("Dubois", "Martine", 22, "29/10/1994", "Orléans")
+</note>
+<html><!--
+=== Données brutes ===
+  *Textes,
+  *comptes rendus,
+  *série de notes, de valeurs sans format précis :
+-> format texte en général.
+<note>
+Le format ''txt'' désigne des données non structurées de type “texte” regroupant différents modes d’encodage :
+  * ASCII (caractères sans accent),
+  * utf8 (caractères accentués et spéciaux),
+  * ...
+</note>
+=== Données vectorielles===
+  * Chaque jeu de valeurs est codé sous la forme d’un **vecteur**
+    * constitué de grandeurs entières ou réelles :
+    * toutes les valeurs sont quantitatives (numériques).
+  * C’est un encodage adapté aux grandeurs physiques :
+    * chaque champ du formulaire est codé dans un format numérique
+    * il est possible de représenter les données dans un espace vectoriel
+<note important> Un **vecteur** est une séquence (ordonnée et finie) de valeurs quantitatives, chaque valeur obéissant au même format numérique.
+</note>
+<note tip>
+**Exemple** :
+Considérons une station météorologique enregistrant à intervalle réguliers les données de ses capteurs :
+    * thermomètre,
+    * baromètre,
+    * hygromètre
+    * et anémomètre.
+Un jeu de valeurs sera constitué de //5 réels double précision// décrivant
+    * la température,
+    * la pression,
+    * l’humidité,
+    * la vitesse
+    * et la direction du vent.
+</note>
+=== Tuples===
+**NB**:
+  * Les données sont organisées sous la forme d’une liste de valeurs qualitatives ou quantitatives.
+  * Le tuple est la structure de base servant pour la transmission des données (simple, facile à coder et à échanger).
+--></html>
+**NB**: un **tuple** est une séquence (ordonnée et finie) de valeurs, chaque valeur pouvant être de type qualitatif ou quantitatif, et pouvant obéir à un format numérique différent.
+<note tip>
+**Exemple** : considérons une fiche servant à décrire un étudiant. L’étudiant doit remplir les rubriques nom, prénom et âge, numero de voie, nom de la voie, code postal, ville. Chaque rubrique correspond à un composant d’un 7-tuplet tel que:
+  * les composants 1, 2, 5 et 7 sont des chaînes de caractères
+  * les composants 3, 4 et 6 sont des entiers
+</note>
+<note>
+**Le format csv - “Comma Separated Values” **
+Chaque enregistrement est codé sur une ligne, chaque valeur étant séparé par un caractère séparateur (virgule, point-virgule, tabulation,...).
+Exemple :
+  Dubois,Martine,"28, rue des Lilas, 45000 Orléans",45
+Remarques :
+  * les données sont des chaînes de caractères
+  * les guillemets sont nécessaires lorsque la valeur contient le caractère séparateur (ici la virgule)
+  * les noms des attributs sont éventuellement indiqué sur une ligne séparée
+</note>
+=== Données indexées ===
+  * Données organisées sous la forme d’une liste d’attributs.
+    * Chaque attribut est défini par un nom et un format (**type**).
+    * Chaque valeur est stockée sous la forme d’un couple (attribut : **valeur**).
+<note tip>
+**Exemple** :
+Considérons une fiche servant à décrire un étudiant. L’étudiant doit remplir les rubriques nom, prénom et âge, numero de voie, nom de la voie, code postal, ville.
+Chaque rubrique correspond à un attribut, où:
+  * nom, prenom, voie, et ville sont des attributs de type chaîne de caractères
+  * age et numero et code_postal sont des attributs de type entier
+La structure de données sous-jacente est le **dictionnaire**, où l’attribut est la clé permettant d’accéder à la valeur.
+</note>
+<note important>
+Un **dictionnaire** est une liste non ordonnée de valeurs, chaque valeur étant associée à une clé unique (ici la clé est le nom de l’attribut).
+</note>
+<note>
+**Le format json - JavaScript Object Notation**
+Exemple :
+  {"nom" : "Dubois", "prénom" : "Martine", "adresse" : "28, rue des Lilas, 45000, Orléans", "âge" : 45}
+Remarques :
+  * reprend la syntaxe vue en Python
+  * données numériques ou chaînes de caractères
+</note>
+=== Données Hiérarchisées===
+  * Organisation des données correspondant à une structure d’**arbre**.
+  * Dans le cas d’un recueil de données, correspond à la définition de rubriques et sous-rubriques.
+<note tip>
+**Exemples** :
+  * La rubrique **adresse** peut contenir les sous-rubriques **numero**, **voie**, **code_postal** et **ville**.
+  * Un document contient des **chapitres**, des **sections**, des **sous-sections** etc...
+</note>
+<note> **Formats xml, xhtml, json, ...**
+Pour les données organisées de manière hiérarchique. Des balises servent à séparer les différents attributs.
+Ex :
+  <nom> Dubois </nom>
+  <prénom> Martine </prénom>
+  <adresse>
+    <num> 28 </num>
+    <voie> rue des Lilas </voie>
+    <code postal> 45000 </code postal>
+    <ville> Orléans </ville>
+  </adresse>
+  <âge> 45 </âge>
+remarque : le format ''json'' permet également de définir des hiérarchies
+  {
+    "nom" : "Dubois",
+    "prénom" : "Martine",
+    "adresse" :
+    {
+      "numero" : 28,
+      "voie" : "rue des Lilas",
+      "code_postal" : 45000,
+      "ville" : "Orléans"
+    },
+    "âge" : 45
+  }
+</note>
+=== Tableaux de données ===
+Un tableau de données est une liste (finie et ordonnée) de tuples, chaque tuple obéissant à un même schéma $R$.
+{{https://wiki.centrale-marseille.fr/informatique/_media/public:std-3:cm1:s7-tableau-data.png}}
+==== 2. Schéma et relation ====
+approches en modélisation :
+  * approche ensembliste (plus général)
+  * modèle relationnel (plus pratique)
+<note important>
+Le **Modèle relationnel** sert à représenter logiquement les **tableaux de données**.
+</note>
+<note>
+**Tableau de données**
+Un tableau de données est une liste (finie et ordonnée) de tuples, chaque tuple obéissant à un même schéma $R$.
+{{https://wiki.centrale-marseille.fr/informatique/_media/public:std-3:cm1:s7-tableau-data.png}}
+</note>
+Rappel:
+  * Un enregistrement est un jeu de valeurs organisé sous forme de **tuple**
+  * A un tuple on associe  en général  un **schéma de données**.
+{{public:std-3:cm1:s7_schema.png}}
+  * Définir un **schéma** consiste à définir :
+    * une liste d'attributs (labels) associées à chacune des valeurs du tuples.
+  * A chaque **attribut** correspond :
+    * un //intitulé//
+    * un //domaine// de valeurs (type/format des données)
+  * Soit $R(A_1, ..., A_m)$ un schéma.
+  * On note $\text{dom}(A_i)$ le domaine associé à l'attribut $A_i$.
+  * On dit d'un tuple $t$ qu'il //obéit au schéma $R$// si les valeurs qu'il contient correspondent aux domaines des attributs du schéma.
+<note important>
+**Définition**
+Soit $R = (A_1,...,A_m)$ un schéma de données
+Une **relation** $r$ obéissant au schéma $R$ est un //sous-ensemble du produit cartésien// $\text{dom}(A_1) \times ... \times \text{dom}(A_m)$
+</note>
+<note tip>
+**Corollaire** : une relation est un **ensemble** de tuples :
+$$ r = \{t_1, ..., t_n\} = \{ (a_{11}, ..., a_{1m}), ..., (a_{n1}, ..., a_{nm})\}$$
+  * avec :
+    * $\forall (i,j), a_{ij} \in \text{dom}(A_j), $
+    * $\forall i, t_i \in \text{dom}(A_1) \times ... \times \text{dom}(A_m)$
+    * $n$ : nombre de tuples
+    * $m$ : nombre d'attributs par tuple
+</note>
+<note tip>
+**Remarque :**
+  * Le **schéma** $R$ représente le niveau abstrait (modélisation)
+  * La **relation** $r$ représente un cas concret de réalisaton (à un schéma $R$ peuvent correspondre une infinité de réalisations possibles : $r$, $r'$, $r''$, etc. )
+</note>
+<note> ** Diverses représentations :**
+__[[public:STD-3:CM1:Aspect logique:2.2.2 Relation:Ensembles d'entités et schémas d'ensembles|Entité/association]]__ :
+{{public:std-3:cm1:s7-schema-merise.png}}
+__[[public:mco-2:paradigme_objet_et_modelisation_uml|UML]]__ :
+{{public:std-3:cm1:s7_schema_uml.png}}
+__[[public:STD-3:CM1:Aspect logique:2.2.2 Relation|Schéma relationnel]]__ :
+**Client**(nom, prénom, adresse, âge)
+</note>
+<note>
+** __Exemples de schémas relationnels__ :**
+**Étudiant**(nom, prénom, adresse, INE)
+**Ouvrage**(titre, auteur, éditeur, prix, date_édition)
+**Véhicule**(immatriculation, marque, modèle, couleur)
+</note>
+==== 3. Dépendances fonctionnelles ====
+  * Au sein d'un schéma $R$,
+    * Il peut exister un ensemble de contraintes, noté $F$,
+      * portant sur les attributs (plus précisément sur les valeurs prises par les attributs).
+      * L'ensemble F est indépendant de R.
+    * On parle de **contraintes d’intégrité**.
+      * Ces contraintes s’expriment sous la forme de **dépendances fonctionnelles**.
+<note>
+**Rappels d’algèbre de base:**
+  * **Relation binaire** : une relation binaire $r$ portant sur deux domaines $\text{dom}(A)$ et $\text{dom}(B)$:
+    * est un sous-ensemble du produit cartésien $\text{dom}(A) \times \text{dom}(B)$.
+    * si $(a,b) \in r$, on note parfois $a r b$ ce qui signifie “a est en relation avec b”.
+  * **Fonction** : une fonction $f : \text{dom}(A) \rightarrow  \text{dom}(B)$ est une relation binaire sur $\text{dom}(A) \times  \text{dom}(B)$ telle que
+    * pour tout $a \in \text{dom}(A)$,
+    * il existe un unique $b$ tel que $(a,b) \in f$.
+    * On note $b=f(a)$ ,
+      * ce qui signifie qu'au sein de la relation $f$, $b$ est déterminé de façon unique par le choix de $a$ (autrement dit : “b dépend de a”)
+</note>
+<note important>
+**Dépendance fonctionnelle**
+  * Soit $r$ une relation définie selon $R(A_1,...,A_m)$
+  * Soient $X$ et $Y$ deux sous-ensembles de $R$
+  * On dit que la relation $r$ définit une //dépendance fonctionnelle// de $X$ vers $Y$,
+    * notée $X \stackrel{r}{\rightarrow} Y$
+    * si les valeurs de $r$ permettent de définir une fonction de $\text{dom}(X)$ vers $\text{dom}(Y)$.
+</note>
+<note tip>
+**__Exemple 1__** :
+Soit la relation $r$:
+^ A ^ B ^ C ^
+| 1 | a | e |
+| 2 | b | f |
+| 2 | c | f |
+| 3 | d | k |
+| 4 | d | k |
+  * On a les dépendances suivantes :
+    * $A \rightarrow C$
+    * $B \rightarrow C$
+    * mais pas : $A \rightarrow B$, $B \rightarrow A$, ni $C \rightarrow A$
+  * On a aussi :
+    * $A,B \rightarrow C$
+    * mais pas : $B,C \rightarrow A$, ni $A,C \rightarrow B$, etc.
+</note>
+<note tip>
+**__Exemple 2__** :
+  * Soit le schéma :
+    * **Commande** (num_client, quantité, prix, date, num_article)
+  * et l’ensemble de contraintes
+$$ \begin{array}{rl}F &= \{\\
+    & \text{num_client, date} \rightarrow \text{num_article, quantité, prix} \\
+    & \text{num_article, quantité} \rightarrow \text{prix} \\
+    &\}
+    \end{array}
+$$
+  * La première contrainte indique qu'il ne peut y avoir deux factures émises pour un même client à une date donnée.
+  * La seconde contrainte indique que le prix payé dépend de l’article et de la quantité commandée.
+</note>
+<note tip>
+**__Exemple 3__** :
+  * Soit le schéma :
+    * **Ouvrage** (titre, auteur, éditeur, prix, date_edition)
+  * et la contrainte :
+    * {titre, auteur, éditeur →  prix, date_édition}
+La contrainte signifie :
+  * “//pour une oeuvre chez un certain éditeur, une seule édition est possible (pas de réédition à une date ultérieure)//”
+  * “//politique du prix unique//”
+</note>
+<note>
+**Exercice :**
+Soit le schéma :
+  *  **Réservation**(code_appareil, date, heure, salle)
+Exprimer la dépendance fonctionnelle :
+  * « //Un appareil ne peut pas être utilisé dans deux locaux différents au même moment //»
+</note>
+  * Il importe donc de bien réfléchir, au moment de l'étape de conception,
+    * du réalisme et du caractère limitant de certaines dépendances fonctionnelles,
+    * et du caractère éventuellement limitant du choix des attributs.
+  * Ainsi, le schéma décrivant les commandes (exemple 2)
+    * ne permet pas de commander des articles de nature différente au sein d'une même commande
+    * (un client, pour commander deux râteaux et une truelle, doit donc effectuer deux commandes, qui plus est à des dates différentes!).
+<note> ** Exercice **
+Soit le schéma relationnel suivant :
+**Billet**(num_train, type_train, num_voiture, num_place, date, id_passager, nom_passager, prénom_passager, date_naissance, gare_départ , horaire_départ, gare_arrivée, horaire_arrivée, classe, tarif)
+Définir des dépendances fonctionnelles sur cet ensemble d'attributs
+</note>
+==== 4. Clé d'une relation====
+=== 4.1 Définitions ===
+  * Soit un schéma $R(A_1, ..., A_m)$.
+<note important>
+**Clé**
+  * Une **clé** $K$ :
+    * est un ensemble **minimal** d'attributs inclus dans R,
+    * tel que toute relation $r$ de schéma $R$ définit une dépendance fonctionnelle de $dom(K)$ dans $dom(R)$,
+  * cette dépendance est notée $K \rightarrow R$.
+</note>
+<note>
+  * **Remarques** :
+    * Si un schéma $R$ possède une clé $K$, alors tous les éléments d’une relation $r$ de schéma $R$ sont discernables : la valeur de la clé permet d’identifier de façon unique chaque élément de l’ensemble.
+    * Au sein d'un schéma, il est souvent possible de définir plusieurs clés à partir des attributs. Le concepteur du modèle choisit une clé parmi les clés possibles. Cette clé est appelée **clé primaire**.
+    * Graphiquement, les attributs constituant la clé sont __soulignés__:
+{{public:std-3:cm1:s7-cle-0.png}}
+</note>
+<note>
+**__Exemple 1__** :
+{{public:std-3:cm1:s7-cle-01.png}}
+</note>
+<note>
+**__Exemple 2__** :
+{{public:std-3:cm1:s7-cle-02.png}}
+  *Pour certains schémas,
+    * il est courant de définir comme clé un entier **identifiant de façon unique** chaque élément de l'ensemble (appelé identifiant ou “Id”).
+    * La clé est alors constituée de cet attribut unique.
+{{public:std-3:cm1:s7-cle-03.png}}
+**Représentation [[public:mco-2:paradigme_objet_et_modelisation_uml|UML]] **:
+{{public:std-3:cm1:s7-cle-04.png}}
+</note>
+=== 4.2 Axiomes d'Amstrong ===
+Soit $K$ une clé candidate. On démontre que $K \rightarrow R$ à l'aide des //axiomes d'Amstrong// à partir d'un ensemble de DF connues:
+<note tip> **Axiomes d'Amstrong **
+  - **Réflexivité** : $$Y \subseteq X   \Rightarrow   X \rightarrow Y$$
+  - **Augmentation** : $$X \rightarrow Y \Rightarrow X,Z \rightarrow Y,Z$$
+  - **Transitivité** : $$X \rightarrow Y \text{ et } Y \rightarrow Z \Rightarrow X \rightarrow Z$$
+  - **Pseudo-transitivité** : $$X \rightarrow Y \text{ et } Y,W \rightarrow Z \Rightarrow X,W \rightarrow Z$$
+  - **Union** : $$X \rightarrow Y \text{ et } X \rightarrow Z \Rightarrow X \rightarrow Y,Z$$
+  - **Décomposition** : $$X \rightarrow Y, Z \Rightarrow X \rightarrow Y \text{ et } X -> Z$$
+</note>
+<note> ** Exercice **
+Soit le schéma relationnel suivant :
+**Billet**(num_train, type_train, num_voiture, num_place, date, id_passager, nom_passager, prénom_passager, date_naissance, gare_départ , horaire_départ, gare_arrivée, horaire_arrivée, classe, tarif)
+Montrer que l'ensemble {num_train, num_voiture, num_place, date, gare_départ} est une clé primaire du schéma?
+</note>
+==== 4. Normalisation d'un schéma====
+__**Tables mal construites**__
+<note>
+** Exemple : fournisseurs de composants électroniques:**
+$$\textbf{Fournisseur}(\underline{\text{nom_f, composant}}, \text{adresse_f, prix})$$
+  * **Problèmes :**
+    * **Redondance** : l’adresse des fournisseurs est répétée plusieurs fois
+    * **Inconsistance** : mauvaise mise à jour => adresses différentes pour un même fournisseur.
+    * **Problème Insertion** : on ne peut pas insérer dans la table un fournisseur qui ne fournit rien
+    * **Problème suppression** : si un fournisseur ne fournit plus rien, on perd son adresse
+  * Solution?
+    * Couper la table en 2?
+<note warning>
+$$\textbf{Fournisseurs} (\text{nom_f, adresse_f})$$
+$$\textbf{Catalogue}(\text{composant, prix})$$
+</note>
+--> Impossible de retrouver les prix pratiqués par les différents fournisseurs.
+  * Nouveau Schéma :
+<note tip>
+$$\textbf{Fournisseurs} (\text{nom_f, adresse_f})$$
+$$\textbf{Catalogue}(\text{nom_f, composant, prix})$$
+</note>
+--> Il est possible de reconstruire la table initiale en effectuant une jointure entre ces 2 tables sur l’attribut ''nom_f''.
+</note>
+<note>
+**Exercice** : Les tables suivantes sont-elles bien ou mal construites?
+  * **Enseignement** (__id_enseignant__, nom_enseignant, __matière, id_élève__, nom_élève)
+  * **Arrêt** (__num_train__, horaire, __nom_gare__, ville)
+  * **Facture** (__id_client, date__, article,  montant)
+</note>
+==== 5. Formes Normales =====
+**__Les Formes normales__**
+  * Restreignent les dépendances admises dans un schéma relationnel
+  * Permettent d’éviter la duplication de l’information au sein des relations
+  * Définissent une méthode
+    * de **décomposition** d’un schéma relationnel redondant
+    * en plusieurs schémas //liés entre eux//:
+=== 5.1 2ème forme normale (2FN) ===
+<note important>
+**Dépendance fonctionnelle élémentaire (DFE) **
+  * Soit $R$ un schéma relationnel
+  * Soit $X$ un ensemble d’attributs ⊆ $R$
+  * Soit $A$ un attribut de $R$
+  * Il existe une DFE entre $X$ et $A$ ssi :
+    * $X \rightarrow  A$
+    * Il n’existe aucun sous-ensemble $Y$ ⊆ $X$ tel que $Y \rightarrow A$
+</note>
+<note important>
+**2ème forme normale (2FN) **
+  * Un schéma $R$ est en 2FN :
+    * ssi la clé primaire de $R$ est en DFE avec tous les autres attributs.
+    * Donc : il n’y a pas d’attributs qui ne dépendent que d’une partie de la clé.
+</note>
+<note tip>
+**Exemple :**
+$$\textbf{Fournisseur}(\underline{\text{nom_f}, \text{composant}}, \text{adresse_f}, \text{prix})$$
+$$\text{nom_f} \rightarrow  \text{adresse_f}$$
+$$\text{nom_f}, \text{composant} \rightarrow  \text{prix}$$
+⇒ Pas 2FN!!
+</note>
+=== 5.2 Normalisation 2FN ===
+  * Lorsqu’un schéma relationnel n’est pas en deuxième forme normale, __il doit être **normalisé**__:
+<note>
+**Normalisation 2FN** :
+  * Pour obtenir un schéma 2FN:
+    * on “//découpe//” la table selon les DFE trouvées entre les attributs de la clé et ceux qui ne sont pas dans la clé.
+  * La normalisation consiste:
+    * à créer une nouvelle table pour chaque DFE ainsi trouvée.
+  * Soit :
+$$\mathbf{R} (\underline{A_1,...,\color{red}{A_i},...,A_n},B_1,...,\color{red}{B_j},...,B_m)$$
+    * avec :
+$$\color{red}{A_i} \stackrel{DFE}{\rightarrow} \color{red}{B_j}$$
+$$A_1,...,\color{red}{A_i},...,A_n \stackrel{DFE}{\rightarrow} B_1,...,B_{j-1},B_{j+1}...,B_m$$
+  * Alors le schéma de table doit être modifié comme suit :
+$$\mathbf{R_1} (\underline{A_1,...,\color{red}{A_i},...,A_n},B_1,...,B_{j-1},B_{j+1}...,B_m)$$
+$$\mathbf{R_2} (\underline{\color{red}{A_i}},\color{red}{B_j})$$
+<note important>**Attention**
+Même si aucun attribut ne dépend plus de la clé primaire initiale, il est important de la conserver dans une table spécifique (elle sert à “lier” les valeurs dispersées dans les différentes tables).
+</note>
+</note>
+<note tip>
+**__Exemple__**
+  * __Avant__:
+$$\textbf{Fournisseur}(\underline{\text{nom_f,composant}}, \text{adresse_f, prix})$$
+$$\text{nom_f} \rightarrow \text{adresse_f}$$
+$$\text{nom_f, composant} \rightarrow \text{prix}$$
+  * __Après__:
+$$\textbf{Catalogue}(\underline{\text{nom_f,composant}}, \text{prix})$$
+$$\textbf{Fournisseur}(\underline{\text{nom_f}}, \text{adresse_f})$$
+<note>
+**Remarque :** le schéma est maintenant constitué de deux tables.
+  * Les tables ont un attribut commun : //nom_f// (clé primaire de la table Fournisseur).
+  * La clé primaire de la table des Fournisseurs est  dupliquée dans la table des prix (appelée ici **Catalogue**).
+  * On dit que //nom_f// est une **clé étrangère** de la table des prix (l’attribut fait référence à la clé primaire d’une autre table, en l’occurrence la table des fournisseurs - voir [[public:STD-3:CM2:Conception de bases de données:3.1.1]]).
+</note>
+</note>
+=== 5.3 3ème forme normale (3FN) ===
+<note important>
+**Dépendance Fonctionnelle Directe (DFD) :**
+La dépendance fonctionnelle entre 2 attributs $A_i$ et $A_j$ est //directe// s’il n’existe pas de $A_k$ tel que :
+$$A_i \rightarrow  A_k \rightarrow A_j$$
+</note>
+<note important>
+**3ème Forme Normale (3FN)**
+Un schéma est 3FN :
+  * S’il est 2FN
+  * Si tous les attributs sont en DFD avec la clé.
+</note>
+<note>
+**Exemple :**
+$$\textbf{Commande} (\underline{\text{num_commande}}, \text{nom_f, adresse_f, composant, quantité})$$
+$$\text{num_commande} \rightarrow \text{nom_f, composant, quantité}$$
+$$\text{nom_f} \rightarrow \text{adresse_f}$$
+Le schéma n’est pas 3FN!! (dépendance transitive entre num_commande et adresse)
+</note>
+=== 5.4 Normalisation 3FN ===
+* Lorsqu’un schéma relationnel n’est pas en troisième forme normale, __il doit être **normalisé**__:
+<note>
+**Normalisation 3FN**
+  * On crée une table pour chaque DFD trouvée au sein des attributs n'appartenant pas à la clé.
+Soit :
+$$R (\underline{A_1,...,A_m},B_1, ..., \color{red}{B_i},...,\color{red}{B_j},...,B_n)$$
+avec :
+$$A_1, ..., A_m \stackrel{DFD}{\rightarrow} B_1, ...,\color{red}{B_i},...,B_{j-1},B_{j+1},...,B_n$$
+$$\color{red}{B_i} \stackrel{DFD}{\rightarrow} \color{red}{B_j}$$
+Alors :
+$$R_1 (\underline{A_1,...,A_m},B_1,...,\color{red}{B_i},...,B_{j-1},B_{j+1},...,B_n)$$
+$$R_2 (\underline{\color{red}{B_i}},\color{red}{B_j})$$
+<note important>
+** Attention **
+Comme précédemment, il est important de **conserver** la clé primaire de la table initiale si elle permet d'associer les valeurs dispersées dans les tables.
+</note>
+</note>
+<note>**Exemple :**
+__Avant__ :
+  * **Commande** (__num_commande__, nom_f, adresse_f, composant, quantité)
+  * avec :
+    * num_commande →  nom_f, composant, quantité
+    * nom_f →  adresse_f
+__Après__ :
+  * **Commande** (__num_commande__, nom_f, composant, quantité)
+  * **Client** (__nom_f__, adresse_f)
+L’attribut nom_f est maintenant clé primaire de la table Client et clé étrangère de la table Commande.
+</note>
+==== 6. Modèle ensembliste ====
+<note tip>
+Pour leur conception, les bases de données sont ici vues comme des ensembles constitués de plusieurs populations d'objets //en interaction//, participant au bon fonctionnement d'un certain //système//. Établir un schéma de base de données consiste à décrire ces différentes populations d'objets, mais surtout et principalement à décrire les dépendances et les interactions entre ces populations.
+</note>
+Une base de donnée est constituée de plusieurs ensembles d'objets et d'opérateurs participant au bon fonctionnement d'un système:
+__Exemple 1 :__
+  * Ensembles d'employés
+  * Ensembles de commandes
+  * Ensembles d'articles
+  * Ensembles de clients
+__Exemple 2 :__
+  * Ensembles d'étudiants
+  * Ensembles de séances
+  * Ensembles de cours
+  * Ensembles de copies
+On parle plus généralement d'**ensembles d'entités**.
+<note tip>
+** Le modèle entité/association **
+Le modèle entité/associations est une méthode de description des relations entre ensembles d’entités. Il s’appuie sur le prédicat selon lequel tous les éléments des ensembles d’entités sont discernables.
+Le modèle entités/associations repose sur un langage graphique de description des données, indépendant du support et de la mise en œuvre informatique.
+</note>
+=== Généralités ===
+Une **entité** $x$
+    * est une représentation d'un objet du monde réel,
+    * appartenant au système/à l'organisation modélisée.
+  * Une entité est décrite par une ou plusieurs valeurs caractéristiques, appelées **attributs**.
+Les informations conservées au sujet des entités d'un ensemble sont les **attributs**.
+  * Chaque **attribut** :
+    * a un **nom** unique dans le contexte de cet ensemble d'entités : $A$, $B$, $C$, $A_1$, $A_2$, ..., $A_m$, ...
+      * Exemples de noms concrets : //couleur//, //nom//, //horaire//, //salaire//.
+    * prend ses valeurs dans un domaine bien spécifié,
+      * également appelé le **type** de l'attribut.
+      * Le domaine d'un attribut est noté $\text{dom}(Aj)= Dj$.
+        * Exemples :
+          * $\text{dom}(couleur)={rouge, vert, bleu, jaune}$,
+          * $\text{dom}(nom) = $ensemble des chaînes de caractères,
+          * $\text{dom}(salaire) =$ entiers naturels
+          * etc...
+<note important>
+    * Un attribut $A_j$ est une fonction à valeur sur $D_j$ :
+$$A_j :  E  \rightarrow D_j$$
+$$x \mapsto   A_j(x)$$
+</note>
+<note tip>
+    * Un attribut peut être :
+      * simple ou composé.
+        * Exemple :  une //adresse// peut être décrite par une simple chaîne de caractères, ou peut être décomposée en //rue// , //no//, //boîte//, //ville//, //code postal//, //pays//.
+      * obligatoire ou facultatif ($D_j$ peut ou non contenir la valeur ø ).
+      * atomique ou non (Un attribut peut posséder 0, 1 voire plusieurs valeurs...)
+</note>
+Un **ensemble d'entités** est un ensemble fini d'éléments :
+$$E = \{x_1,…,x_n\}$$
+Il regroupe (ou associe) plusieurs entités ayant des caractéristiques communes (descriptibles à l'aide du même ensemble d'attributs).
+<note tip>
+**Exemples** :
+  * les employés d'une firme,
+  * les cours de Centrale Méditerranée,
+  * une collection de disques,
+  * etc…
+</note>
+  * Les éléments d’un ensemble d’entités sont //partiellement discernables// à travers les valeurs de leurs attributs :
+    * les attributs $(A_1,...,A_m)$ servent à décrire les éléments de l’ensemble.
+    * Le schéma $R$ de l’ensemble $E$ est une //application// de l'ensemble d'entités vers l'ensemble des tuples de schéma $R$
+      * Soit :
+$$ R : \mathcal{X} \rightarrow D_1 \times ... \times D_m$$
+$$ x_i \mapsto (A_1(x_i),…, A_m(x_i))$$
+<note tip>
+** représentation graphique ** :
+{{public:std-3:cm1:s7-entite-0.png}}
+</note>
+<note>
+** Exemples **:
+{{public:std-3:cm1:s7-entite-01.png}}
+</note>
+=== Définitions ===
+Modéliser une base de données, c'est :
+  * Identifier les différents ensembles en interaction
+  * Identifier les liens de dépendance entre les différents ensembles
+<note>
+{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-01.png?500}}
+</note>
+<note>
+{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-02.png}}
+</note>
+<note>
+{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-03.png}}
+</note>
+<note tip>
+Les liens entre les différents ensembles sont  appelés des **associations**
+</note>
+=== Association ===
+<note important>
+Une association exprime des relations de dépendance entre deux ou plusieurs ensembles d’entités.
+**Définition** : Une **association** entre les ensembles $E_1$, ..., $E_k$ est un sous-ensemble du produit $E_1 \times ... \times E_k$.
+Il s'agit donc d'un ensemble de k-uplets $\{..., (x_1,…,x_k), …\}$  t.q. $x_1 \in E_1,…, x_k \in E_k$.
+où $k$ est le degré de l'association :
+  * k=2 : association binaire
+  * k=3 : association ternaire
+  * etc…
+</note>
+=== Rôles des associations ===
+  * //**Attribution**// : propriété, réservation, participation, supervision, auteur, rôle, pilote, ...
+  * //**Événements**// :  achat, vente, séance, épreuve,  appel, consultation, réunion, transaction, transport ...
+  * //**Aggrégation/Composition**// : tout/parties, contenant/contenu, supérieur/subordonné, pays/région, ...
+  * //**Relations entre membres**// : parenté, collaboration, cercle d'amis, ...
+  * ...
+=== Contraintes de cardinalité ===
+<note tip>
+Pour chaque ensemble participant à une association, on précise dans combien d'instances de l'association chaque entité peut apparaître.
+On donne en général un intervalle $[b_\text{inf},b_\text{sup}]$ qui définit le nombre d'apparitions autorisées pour chaque rôle de l'association
+</note>
+=== Représentation graphique ===
+**Associations binaires**
+|{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-04.png?600}}|
+|{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-05.png?600}}|
+|{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-06.png?600}}|
+**Associations ternaires**
+| {{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-07.png}}|{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-08.png}}|
+=== Types d'associations ===
+**Associations de 1 à plusieurs (fonctionnelle)**
+Relation non symétrique entre les deux ensembles : […,1] d'un côté, […,N] de l'autre.
+Relation de type contenant/contenu, propriétaire/objet possédé, occupant/occupé, actif/passif etc...
+Il s'agit du type d'association le plus "courant".
+<note tip>
+On dit parfois que l’ensemble dont la participation est unique est dit “à gauche” de l’association fonctionnelle, et celui dont la participation est multiple est “à droite”, autrement dit la pointe de la flèche désigne l’ensemble de “droite”:
+“à gauche” → “à droite”
+</note>
+|{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-09.png?600}}|
+|{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-08.png?400}}|
+**Associations de plusieurs à plusieurs (croisée)**
+Dans une association “croisée”, les tous les lien de l’association sont de cardinalité multiple […,N]
+|{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-04.png?600}}|
+|{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-07.png?500}}|
+=== Modèles Entité Associations valués ===
+<note important>
+Dans le cadre du modèle entité/association :
+  * les attributs des ensembles d'entités sont des //mesures//:
+    * Soit $A$ un attribut de l'ensemble d'entités $\mathcal{E}$
+$$ A : \mathcal{E} \rightarrow \text{dom}(A) $$
+  * les attributs des associations sont des //opérateurs// :
+    * Soit $B$ un attribut de l'association sur $\mathcal{E} \times \mathcal{F}$
+$$ B : \mathcal{E}\times \mathcal{F}\rightarrow \text{dom}(B) $$
+</note>
+** Mesures **
+  * Les mesures sont les données saisies sur les éléments d'un ensemble. Chaque mesure est associée à un attribut.
+  * Le schéma de l'ensemble est l'ensemble des attributs servant à caractériser ses éléments
+  * Les éléments de l'ensemble sont //discernables// ssi il existe un jeu de mesures différent pour chaque élément de l'ensemble
+  * Une //clé// est un ensemble d'attributs //minimal// (permettant de distinguer les objets) appartenant au schéma
+<note tip> **TODO**
+Ensembles discernables / non discernables
+</note>
+** Opérateurs **
+  * On s’intéresse ici aux associations qui représentent une “opération” (inscription, achat, embauche, affectation…).
+  * Lors d’une mise à jour de la base, certains événements tels que l’emprunt ou le retour d’un ouvrage, l’affectation d’un employé à un poste,  ou la liste des anciens clients disparaissent.
+  * Il est possible de garder une trace des événements passés en mettant un (ou plusieurs) attributs sur une association.
+  * Ainsi, certaines associations peuvent être "datées", c'est à dire
+    * avoir lieu à une date
+    * ou prendre place sur une durée précise (prêt,accès temporaire, statut temporaire…)
+  * On peut ainsi mémoriser :
+    * "Monsieur Dupont a été employé au département logistique de tant à tant."…
+    * "L'étudiant X a été élève Centrale Méditerranée de telle année à telle année"…
+<note tip>
+**Exemple**
+"Monsieur Dupont a été employé au département logistique de tant à tant."…
+|{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-10.png?600}}|
+</note>
+<note tip>
+**Exemple**
+  * Chaque coureur est décrit par ses nom, prénom, nationalité et numéro de maillot.
+  * Chaque coureur appartient à une équipe qui possède un numéro, un sponsor associé.
+  * Chaque coureur participe à une ou plusieurs étapes. Une étape se caractérise par son numéro, son type (contre la montre/étape simple), ses points de départ et d'arrivée, sa date.
+  * A chaque étape est associée un classement d'arrivée pour chaque coureur, avec la durée totale de course.
+|{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-11.png?800}}|
+</note>
+==== 7. Traduction vers le modèle relationnel ====
+Il est possible de traduire un modèle entité/association vers un modèle relationnel (en perdant quelques propriétés).
+<note tip>
+Lors de la réalisation d'une base de données, on passe  en général par les étapes suivantes:
+  - Conception de la base sous forme d'un modèle entité/association.
+  - Traduction sous la forme d'un modèle relationnel.
+  - Normalisation (voir [[https://wiki.centrale-marseille.fr/informatique/tc_info:cm5#normalisation_d_un_schema|Normalisation d'un schéma]])
+  - Mise en œuvre informatique.
+</note>
+Un petit nombre de règles permettent de traduire un modèle entité/association vers un modèle relationnel.
+  * Selon ces règles, à la fois les ensembles d'entités et les associations sont transformés en schémas relationnels.
+  * Les liaisons et dépendances entre schémas de relation sont assurés par la définition des **clés étrangères** (attributs communs à plusieurs tables).
+=== Schéma de base et clé étrangère ===
+<note important>
+  * Un schéma (ou modèle) de bases de données est un ensemble fini de schémas de relation.
+  * Une base de données est un ensemble fini de relations.
+  * Les liens et associations entre relations entre s’expriment sous la forme de **clés étrangères**
+</note>
+<note tip>
+**Définition**
+  * Au sein d'un schéma relationnel $R$, Une clé étrangère est un attribut (ou un groupe d'attributs) qui constitue la clé primaire d'un schéma $S$ distinct de $R$.
+  * La présence d'une clé étrangère au sein d'une relation $r$ de schéma $R$ introduit une contrainte d'intégrité sur les données :
+    * la valeur des attributs de la clé étrangère d'un tuple de $r$ doit être trouvée dans la table s correspondante.
+  * On indique la présence d'une clé étrangère à l'aide de pointillés : {…, __C__l__é__ __é__t__r__a__n__g__è__r__e__, …}
+</note>
+**Exemple **
+<note>
+**Schéma de base relationnelle** :
+  * **Clients** ( __nom_client__, adresse_client, solde)
+  * **Commandes** ( __num_Commande__, __n__o__m__ __c__l__i__e__n__t, composant, quantité)
+  * **Fournisseurs** ( __nom_fournisseur__, adresse_fournisseur)
+  * **Catalogue** ( __nom_fournisseur, composant__, prix )
+</note>
+=== Traduction des associations de plusieurs à plusieurs ===
+Une association croisée ne contient que des contraintes de cardinalité de type [..,N]. Soit $R$ une telle association et $E_1$, ..., $E_k$ les ensembles participant à l'association.
+<note important>
+**Règle de traduction :**
+  * Chaque ensemble $E_i$ est traduit par un schéma relationnel (contenant les mêmes attributs)
+  * L'association $R$ est traduite sous la forme d'un schéma relationnel contenant:
+    * les clés primaires des ensembles participant à l’association
+    * (éventuellement) les attributs propres à l'association,
+</note>
+<note tip>
+{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-12.png}}
+** Traduction :**
+  * **Pays** (__nom_pays__, superficie, population, PIB )
+  * **Matière_première** ( __nom_matière__, unité, prix )
+  * **Exportation** (__n__o__m__ __p__a__y__s, __n__o__m__ __m__a__t__i__è__r__e__, quantité)
+</note>
+<note tip>
+{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-16.png}}
+**Traduction** :
+  * **Appareil** (__code_appareil__, type, marque, modèle)
+  * **Séance** (__date, heure, local__)
+  * **Réservation** (__c__o__d__e __a__p__p__a__r__e__i__l,__d__a__t__e, __h__e__u__r__e__, __l__o__c__a__l__)
+</note>
+=== Traduction des associations de un à plusieurs ===
+Soit une association fonctionnelle $R$. On suppose qu'il existe au moins un ensemble $A$ de cardinalité unique [1,1] participant l’association.
+<note important>
+**Règle de traduction**
+  * Chaque ensemble participant est traduit sous forme de schéma relationnel
+  * L'association $R$ est traduite sous forme de **clé étrangère** : l'ensemble $A$ reçoit la clé primaire du (ou des) ensemble(s) dont la participation est multiple.
+</note>
+<note tip>
+**Exemple** :
+{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-13.png}}
+</note>
+<note tip>
+**Remarque** : lorsque l’association est valuée, les attributs de l’association sont également injectés dans la table représentant l’ensemble de gauche.
+{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-14.png}}
+</note>
+<note tip>
+**Exemple**
+{{public:std-3:cm2:conception_de_bases_de_donnees:3.1.1_modele_ensembliste:s7-cm2-15.png}}
+**Traduction** :
+  * **Groupe_TD**( __num_groupe__, LV1, LV2)
+  * **Entreprise** ( __nom_entreprise__, Adresse)
+  * **Etudiant** ( __num_etudiant__, Nom, Prénom, Date_naiss, __n__u__m__ __g__r__o__u__p__e, intitulé, date, durée, __n__o__m__ __e__n__t__r__e__p__r__i__s__e)
+</note>
+=== Exemple complet ===
+<note>
+**Schéma de base relationnelle** :
+  * **Clients** ( __nom_client__, adresse_client, solde)
+  * **Commandes** ( __num_Commande__, __n__o__m__ __c__l__i__e__n__t, composant, quantité, montant)
+  * **Fournisseurs** ( __nom_fournisseur__, adresse_fournisseur)
+  * **Catalogue** ( __nom_fournisseur, composant__, prix )
+</note>
+<note>
+** Réalisation ** :
+**Clients** :
+^__nom_client__^adresse_client^solde^
+|Durand|7, rue des Lilas|335,00|
+|Dubois|44, av. du Maréchal Louis|744,00|
+|Duval|5, place du marché|33,00|
+**Commandes** :
+^__num_Commande__^ __n__o__m__ __c__l__i__e__n__t^ composant^ quantité^
+|6674|Dubois|micro controller|55|
+|6637|Dubois|radio tuner|2|
+|6524|Durand|transistor|4|
+|6443|Duval|micro controller|7|
+**Fournisseurs** :
+^__nom_fournisseur__^ adresse_fournisseur^
+|Sage|33, College street, London|
+|MoxCom|77 Ashley square,Mumbay|
+**Catalogue** :
+^__nom_fournisseur__^ __composant__^ prix^
+|Sage|transistor|4,4|
+|MoxCom|micro controller|3,7|
+|MoxCom|radio tuner|7,0|
+</note>