public:std-3:cm1:aspect_logique:2.2.3_dependances

2.2.3 Dépendances fonctionnelles

Au sein d'un schéma $R$ ,
- Il peut exister un ensemble de contraintes, noté $F$ ,
  - portant sur les attributs (plus précisément sur les valeurs prises par les attributs).
  - L'ensemble F est indépendant de R.
- On parle de contraintes d’intégrité.
  - Ces contraintes s’expriment sous la forme de dépendances fonctionnelles.

Rappels d’algèbre de base:

Relation binaire : une relation binaire $r$ portant sur deux domaines $A$ et $B$ :
- est un sous-ensemble du produit cartésien $A \times B$ .
- si $(a,b) \in r$ , on note parfois $a r b$ ce qui signifie “a est en relation avec b”.
Fonction : une fonction $f : A \rightarrow B$ est une relation binaire sur $A \times B$ telle que
- pour tout $a \in A$ ,
- il existe un unique $b$ tel que $(a,b) \in f$ .
- On note $b=f(a)$ ,
  - ce qui signifie qu'au sein de la relation $f$ , $b$ est déterminé de façon unique par le choix de $a$ (autrement dit : “b dépend de a”)

Dépendance fonctionnelle

Soit $r$ une relation définie selon $R(A_1,...,A_m)$
Soient $X$ et $Y$ deux sous-ensembles de $R$
On dit que la relation $r$ définit une dépendance fonctionnelle de $X$ vers $Y$ ,
- notée $X \stackrel{r}{\rightarrow} Y$
- si les valeurs de $r$ permettent de définir une fonction de $d(X)$ vers $d(Y)$ .

Exemple 1 :

Soit la relation $r$ :

A	B	C
1	a	e
2	b	f
2	c	f
3	d	k
4	d	k

On a les dépendances suivantes :
- $A \rightarrow C$
- $B \rightarrow C$
- mais pas : $A \rightarrow B$ , $B \rightarrow A$ , ni $C \rightarrow A$
On a aussi :
- $A,B \rightarrow C$
- mais pas : $B,C \rightarrow A$ , ni $A,C \rightarrow B$ , etc.

Exemple 2 :

Soit le schéma :
- Commande (num_client, quantité, prix, date, num_article)
et l’ensemble de contraintes

$\begin{array}{rl}F &= \{\\ & \text{num_client, date} \rightarrow \text{num_article, quantité, prix} \\ & \text{num_article, quantité} \rightarrow \text{prix} \\ &\} \end{array}$

La première contrainte indique qu'il ne peut y avoir deux factures émises pour un même client à une date donnée.
La seconde contrainte indique que le prix payé dépend de l’article et de la quantité commandée.

Exemple 3 :

Soit le schéma :
- Ouvrage (titre, auteur, éditeur, prix, date_edition)
et la contrainte :
- {titre, auteur, éditeur → prix, date_édition}

La contrainte signifie :

“pour une oeuvre chez un certain éditeur, une seule édition est possible (pas de réédition à une date ultérieure)”
“politique du prix unique”

Exercice : Soit le schéma :

Réservation(code_appareil, date, heure, salle)

Exprimer la dépendance fonctionnelle :

« Un appareil ne peut pas être utilisé dans deux locaux différents au même moment »

Il importe donc de bien réfléchir, au moment de l'étape de conception,
- du réalisme et du caractère limitant de certaines dépendances fonctionnelles,
- et du caractère éventuellement limitant du choix des attributs.
Ainsi, le schéma décrivant les commandes (exemple 2)
- ne permet pas de commander des articles de nature différente au sein d'une même commande
- (un client, pour commander deux rateaux et une truelle, doit donc effectuer deux commandes, qui plus est à des dates différentes!).

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