Donnez des algorithmes pour rechercher, insérer & supprimer un élément dans une table de hachage. Donnez leur complexité dans le cas le meilleur, le pire & en moyenne.

Déduisez-en la valeur optimale (en ordre de grandeur) de $m$ en fonction de $n$, ainsi qu'une contrainte sur la fonction de hachage.

On considère les deux fonctions de hachage suivantes :

• La méthode de la division : $h(x) = x \: \mathrm{mod}\: m$.
• La méthode de la multiplication : $h(k) = E(m\cdot \mathrm{Frac}(x\cdot A))$, où :
  • $A$ est un nombre de $[0\ldots1]$
  • $E$ est la partie entière & Frac la partie fractionnaire $(\mathrm{Frac}(x)=x-E(x))$

Donnez, pour ces deux méthodes, des bonnes valeurs pour les paramètres $m$ & $A$.

Dans le hachage cryptographique, on veut en plus que, connaissant $x$ (& $h(x)$), il soit impossible (à moins de ressources en temps de calcul rédhibitoires) de construire $y\ne x$ tel que $h(y) = h(x)$. Donnez des exemples d'applications du hachage cryptographique.

Il arrive souvent que l'on ne sache pas à l'avance combien d'éléments contient $E$ & que l'on mette les éléments de $E$ dans $T$ l'un après l'autre sans savoir quand on s'arrêtera. Donnez une ``politique" efficace de gestion de la taille de $T$.

Soit $S$ un ensemble de nombres à trier, on répartit $S$ en une table de hachage tel que la fonction de hachage soit croissante ($x\leq y \Longrightarrow h(x) \leq h(y)$). On trie chaque paquet, puis on concatène. On appelle ce tri le tri par paquets.

• Donnez une fonction de hachage simple & croissante.
• Quelle est la complexité de cet algorithme dans le cas le meilleur, le pire & en moyenne.

Donnez une implémentation efficace des dictionnaires. Quelle est alors la complexité (dans le cas le meilleur, le pire & en moyenne) des fonctions de base (recherche, ajout d'un élément,…) sur un dictionnaire.

Utilisez un dictionnaire pour écrire un algorithme qui supprime les doublons d'une liste. Donnez sa complexité (dans le cas le pire, le meilleur & en moyenne).

Utilisez un dictionnaire pour écrire un algorithme qui compte le nombre d'occurrences de chaque mot d'un texte. Donnez sa complexité (dans le cas le pire, le meilleur & en moyenne).

Table d'allocation

On considère un tableau $T$ de taille $n$ dans lequel

• $p<n$ cases sont occupées. Chaque donnée $d$ est indexée par l'adresse $i<n$ donnant sa position dans le tableau & on connaît sa taille $m$ ($d$ occupe $m$ cases consécutives de $T$).
• On suppose de plus
  • que la table d'allocation des différentes cases du tableau est codé au format binaire dans un entier $B$ de $n$ bits :

  B=0010010100100...01

• qu'il existe une fonction $f(B,i)$ donnant le i$^{eme}$ bit de $B$ ($f(B,i)$ vaut 1 si la i$^{eme}$ case de $T$ est occupée, & 0 si elle est libre).

Écrire un algorithme permettant d'insérer une donnée $d$ dans le premier bloc de $m$ cases disponible (pensez à mettre à jour la table d'allocation $B$).

Peut-on faire mieux en appliquant un pré-traitement à $B$~?

Ancien sujet